幂律（power law）指的是一种关系：一个量的变化，是另一个量的某个固定幂次。在幂律分布里，大值的出现频率或者尾部概率，按它们大小的幂次下降，于是留下一条相对厚重的尾巴。指数不变时，规模翻一倍会让相关的量按一个固定比例变化。这跟”只要结果不平等就都是幂律”是两回事。要负责任地用这个概念，得说清在测什么，把密度和尾部概率分开，看适用的区间范围，再把提出来的分布跟其他说得通的替代方案比一比。
定义
一般关系可以写成 y = C × x^k，C 是常数，k 是指数。下降型关系的指数为负。x 翻一倍，y 就变 2^k 倍。
分布需要更精确的说法。概率密度描述概率在局部是怎么分布的；尾部概率 P(X ≥ x) 描述出现一个至少和 x 一样大的值的可能。两者的指数一般不一样。对于一个在阈值之上与 x^-alpha 成比例的理想连续密度（alpha 大于 1），尾部概率与 x^-(alpha-1) 成比例。
阈值很关键。一个数据集可能只在某个规模以上才表现出近似幂律的行为。并没有要求最小的那些观测值也遵守同一个关系。
在日常生活里，少数异常大的结果加上大量小结果，值得你去查一查。但这种模式本身并不能确定分布类型。对数正态和其他重尾模型，也能产生看起来类似的不平等。
幂律和指数衰减
幂律和指数衰减都在下降，但它们的标度规则不一样。
| 关系 | 形式 | 保持不变的是什么 |
|---|---|---|
| 幂律式下降 | y = C × x^-2 | x 翻一倍，y 变成四分之一 |
| 指数式下降 | y = C × exp(-lambda × x) | x 增加一个固定量，y 乘上一个固定倍数 |
幂律在理想的双对数坐标上会形成一条直线，因为 log(y) 等于一个常数加上 k × log(x)。指数在理想的半对数坐标上会形成一条直线，因为 log(y) 等于一个常数减去 lambda × x。
这些视觉特征只是线索，不是充分的统计检验。小样本、受限的取值范围、含噪声的尾部，还有绘图时灵活的选择，都能让本来无关的分布在一小段区间里看起来是直的。
Clauset、Shalizi 和 Newman 的原始分析解释了常见的看图和拟合方法为什么会误导人。他们的做法是拟合、检验拟合优度、再跟替代方案比较。一张干净的图表替代不了这些步骤。
实例拆解
下面这个分布是为了讲课构造出来的。它不是对财富、城市、社交媒体账号或者任何市场的拟合。
设 X 的尾部概率为 P(X ≥ x) = x^-2，其中 x 至少为 1。
| 阈值 x | 出现至少为 x 的值的概率 | 阈值翻倍时的变化 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 起点 |
| 2 | 0.25 | 除以 4 |
| 4 | 0.0625 | 除以 4 |
| 8 | 0.015625 | 除以 4 |
这个反复出现的比例就是标度特征。这一条尾巴对应的是 1 之上 2 × x^-3 的连续密度。尾部指数是 2，密度指数是 3。
对比一条假想的指数尾巴 exp(-(x-1))。它在 x = 1 处也等于 1，但把 x 翻倍，并不会在每个阈值上都得到同一个比例。这两条曲线对大值说的是不同的话。
幂律跟二八法则（80/20 rule）也不是一回事。“20% 的参与者产出了 80% 的结果”是一种集中度的概括。它没有确立任何指数、阈值，或者分布的完整形状。
要找配套的推理工具，从心智模型和系统思维入手。它们帮你把问题框起来，但没有数据，它们没法确定分布。
证据检验
在把真实观测说成幂律之前，用下面这份原创的检查清单：
- 定义变量和单位。 “人气”太含糊；某个时间段内的一个明确计数才是可评估的。
- 检查观测是怎么收集的。 小值缺失、极端值被截断、单位中途变过，都会影响看起来的形状。
- 写明取值范围。 找出这个关系被认为在哪些区间成立。
- 分清密度、频数、排名和尾部概率。 图的坐标轴标签必须说明画的是哪一个量。
- 拟合并检验一个写明的模型。 把拟合方法和假设摊开给人看。
- 和替代方案比较。 一个说得通的幂律，不一定就是最好的解释。
- 说明不确定性。 尾部观测稀疏，就很难下肯定的结论。
作者的配套数据页面提供了跟这篇统计综述相关的真实数据，用来看清”猜想”和”经过检验的模型”之间的差别。某个数据集得出的结果，不会自动搬到另一个时间、另一个地方或者另一种测量方法上。
别把这个概念变成对某个具体的人会成功、或者某个资产未来价格的预测。分布描述的是在特定条件下的一整个群体，它不指出谁会落在尾部。批判性思维能帮你把这类推断跟描述性的模式分开。
常见问题
幂律是不是意味着少数几样东西占主导？
重尾分布里确实可能有罕见的巨大值，但光靠”集中”证明不了幂律。要把关系写清楚，再去检验它。
双对数图上一条直线就够了吗？
不够。它跟理想的幂律标度是一致的，但在别的数据上，在一个有限的区间里也可能近似出现。拟合、不确定性和替代模型都要看。
所有幂律都是概率分布吗？
不是。幂律可以只描述量与量之间的关系，不定义一个概率分布。在解释指数之前，先说清你用的是哪一种含义。