博弈论里的游戏，是对「结果同时取决于你的选择和别人的选择」这类情境做的简化模型。经典例子包括囚徒困境（Prisoner’s Dilemma）、猎鹿博弈（Stag Hunt）、斗鸡（Chicken）、性别战（Battle of the Sexes）、猜硬币（Matching Pennies）和最后通牒（Ultimatum）。每一个都突出了不同的问题：背叛的激励、对合作的不确定、冲突的偏好、不可预测性，或者讨价还价。要理解一个博弈，先找出参与者、可选行动和收益，然后问一句：在对方不动的前提下，任一方改变自己的选择会不会更划算。下面的表格用的是便于教学的示意数字，它们用来说明模型的逻辑，不是用来预测具体的人会怎么做。
什么是博弈论里的「游戏」
一个博弈规定谁做选择、能选什么，以及选择的组合如何影响每个人的收益。更完整的描述还会告诉你：参与者知道什么、什么时候行动、是否还有下一次互动。
收益代表一个参与者看重什么。一个分数、一枚代币或者一笔钱，只有在你说明了「这个人怎么给可能的结果打分」之后，才能在模型里派上用场。耶鲁的入门课专门讲过「结果（outcome）」和「收益（payoff）」这个区分。
这里的双人表格是方便入门的起点。博弈可以有更多参与者、更多选项，或者多个阶段。比如最后通牒，就包含「报价」和「回应」两个环节。
怎么看一张收益矩阵
下面每一张方阵表里，Alex 选行，Blair 选列。每一对数字读作**（Alex 的收益，Blair 的收益）**。数字越大，表示那个结果对这个人越有吸引力。负值表示相对于本例的参照点是亏损。
一个格子由两个选择组合而成。不考虑 Blair 选哪一列，你没法只看 Alex 的数字就判断出 Alex 的最佳行动。
顺着某一行和某一列走到交点。第一个收益属于选行的人，第二个属于选列的人。
要检验纯策略纳什均衡（pure-strategy Nash equilibrium），看任一方能否只靠改变自己的选择就提高收益。如果都不能，这个格子就通过检验。这就是 MIT 对纳什均衡的说明里提到的单边改变规则。
均衡不一定是双方总收益最高的结果，也不一定让双方拿到同样的收益。「对单个人的改变保持稳定」是一项具体的检验，不是「对所有人都最优」。
博弈论经典游戏举例
下面这些都是模型的教学版本。教科书可能用不同的数字、标签或故事。前四张表里，驱动力是每位参与者收益的相对排序；猜硬币则用具体的盈亏数字来说明期望收益。
1. 囚徒困境：个人上很诱人，一起上更糟
两位参与者各自独立选择合作（Cooperate）或背叛（Defect），互相看不到对方此刻的选择。
| Alex / Blair | 合作 | 背叛 |
|---|---|---|
| 合作 | (3, 3) | (0, 5) |
| 背叛 | (5, 0) | (1, 1) |
如果 Blair 合作，Alex 背叛能拿 5，合作只能拿 3。如果 Blair 背叛，Alex 背叛拿 1，合作拿 0。Blair 面对的是同样的比较。所以在这张表里，背叛对双方都是严格占优的选择。
唯一的纯均衡是**（背叛，背叛）**，得到 (1, 1)。可双方都更希望互助合作得到的 (3, 3)。这种张力就是「困境」所在。
如果每个人都更想躲开干活、不管搭档做什么，一个假想的共同项目就会是这个结构。用这个名字之前先确认这个条件是否成立。如果你更愿意在对方帮忙时也去帮忙，那项目里的激励结构就不一样了。
耶鲁的讲义讨论了「占优选择」和「双赢结果」之间的区别。要谈重复博弈、可执行的承诺，或者激励发生变化，都需要重新分析；光是一句承诺不会改变这张一次性博弈表里的数字。
2. 猎鹿博弈：更好的共同结果需要信任
每位参与者选择猎鹿（Stag）——需要合作——或者野兔（Hare）——更安全的个人选项。
| Alex / Blair | 猎鹿 | 野兔 |
|---|---|---|
| 猎鹿 | (4, 4) | (0, 3) |
| 野兔 | (3, 0) | (3, 3) |
当 Blair 选猎鹿时，Alex 也偏好猎鹿：4 大过 3。当 Blair 选野兔时，Alex 偏好野兔：3 大过 0。Blair 的激励完全一样。
这里有两个纯均衡：（猎鹿，猎鹿）和（野兔，野兔）。双方都更想要前一个，但一个人单独去猎鹿收益最低。问题出在「对方会不会参与」的把握上。
一个假想的团队统一采用新工具的场景可能是：继续用旧工具勉强可以接受，一起换新更好，一个人单独换代价很大。只有这些偏好比较真的成立时，它才像猎鹿博弈。
它和囚徒困境的差别很明确：在这里，合作是对合作的最优回应；在困境里不是。剑桥的讲课幻灯对比了这两个模型。
3. 斗鸡：双方都想让对方先退
参与者选择让（Yield）或顶住（Hold）。对方一让，自己就想顶住；两边都顶住是最坏结果。
| Alex / Blair | 让 | 顶住 |
|---|---|---|
| 让 | (2, 2) | (1, 3) |
| 顶住 | (3, 1) | (0, 0) |
两个纯均衡是**（让，顶住）和（顶住，让）**。在每一个里面，让步的一方改去顶住会输，顶住的一方改去让步也会输。
互相让步得到的 (2, 2) 比互相顶住的 (0, 0) 对双方都更好，但它过不了单边改变这一关：任一方单独顶住都能赚。
一个低风险的教学例子是两个人坚持互不兼容的会议时间。只有当双方都宁愿让步，也不愿双方都拒绝而把会开不成时，这个情境才符合斗鸡模型。这个模型并不能证明「把真实分歧升级」是个好策略。
4. 性别战：一起行动，但方向不同
这个传统的名字描述的是一个偏好冲突的协调博弈。模型里性别不起任何作用。这里 Alex 和 Blair 想一起去参加某个活动：Alex 偏好音乐会（Concert），Blair 偏好球赛（Match）。
| Alex / Blair | 音乐会 | 球赛 |
|---|---|---|
| 音乐会 | (2, 1) | (0, 0) |
| 球赛 | (0, 0) | (1, 2) |
**（音乐会，音乐会）和（球赛，球赛）**都是纯均衡。在任何一个里面，独自离开都会让改变主意的那个人拿到 0 收益。不过 Alex 更喜欢前一个均衡，Blair 更喜欢后一个。
两个协调结果都是稳定的，但两个人偏好不同的那个。各自独立选择可能让他们出现在两个不同的活动上。
任务在于选一个共同结果，并处理谁的偏好胜出。它和猎鹿博弈不同：猎鹿博弈里双方偏好同一个协调结果。耶鲁的协调博弈课专门讨论这种偏好冲突。
如果双方都预期会被遵守，一份关于场地的约定可以协调选择。而一条「轮流选场地」的规则会引入重复互动，超出了这张单轮表的范围。
5. 猜硬币：可预测的选择会被利用
每位参与者秘密选择正面（Heads）或反面（Tails）。Alex 在两人选择一致时赢，Blair 在不一致时赢。
| Alex / Blair | 正面 | 反面 |
|---|---|---|
| 正面 | (1, −1) | (−1, 1) |
| 反面 | (−1, 1) | (1, −1) |
这个版本是零和的：每格的收益加起来是零。没有任何一格是纯均衡。选择一致时，Blair 改一下就能改善；不一致时，Alex 改一下就能改善。
**混合策略（mixed strategy）**是给各个选择分配概率。在这个对称例子里，双方都以 1/2 的概率选正面和反面，会让对方对两个行动无差异。面对这种混合，任何一个固定行动的期望收益都是 0。
你可以验算 Alex 选正面的收益：一半时间是 1，一半时间是 −1。反面的期望相同。对 Blair 而言，对应的比较也成立。
改动收益数字会改变均衡概率。「五五开随机」并不是所有竞争博弈的通用规则；而且故意交替出正反两面，那是一个可预测的模式，不是独立的随机选择。
6. 最后通牒：回应发生在报价之后
一方提出怎么分配一份资源，另一方选择接受或拒绝。接受则按提议分配，拒绝则双方都拿不到。耶鲁的讨价还价课里描述的就是这套规则。
假设 Alex 提出把 10 枚代币分成：自己留 6 枚，给 Blair 4 枚。
| Blair 对这个报价的回应 | Alex 的代币 | Blair 的代币 |
|---|---|---|
| 接受 | 6 | 4 |
| 拒绝 | 0 | 0 |
这只是报价—回应的一个分支：Alex 留 6 枚、给 Blair 4 枚。其他可能的报价省略。
这是一个序贯博弈：Blair 在回应之前能看到报价。这张小小的回应表只展示了一个报价，不是完整的博弈。完整的策略分析必须把所有可能的报价以及 Blair 对每一种的回应都包含进去。
如果 Blair 只看重自己那几枚代币，接受这个正数报价当然比拒绝好。但如果公平、声誉或其他因素也在起作用，光看代币数可能描述不了 Blair 的收益。不要把这个示意图当成「某个人一定会接受」的预测。
博弈论里的博弈类型
博弈的名字和博弈的类型回答的是不同问题。名字标识的是某一种特定的激励结构；类型描述的是某个特征。一个博弈可以同时具备多个特征。
- 零和 / 非零和： 收益是不是永远加起来等于零？这里的猜硬币是零和的；囚徒困境不是。
- 同时行动 / 序贯行动： 当前的隐藏选择，和观察到最后通牒报价之后再行动，是不同的。「同时」不一定是同一个时钟时间。
- 对称 / 不对称： 两个角色互换之后，可选行动和收益规则是否一样？这里的囚徒困境是对称的；音乐会／球赛的偏好因人而异。对称不意味着每个结果拿到的都一样多。
- 合作 / 非合作： 带可执行协议的联盟分析，和个人的策略选择是两回事。在技术上，选了一个叫「合作」的行动，并不会把囚徒困境变成合作博弈。
- 完全信息 / 不完全信息： 每次决策时参与者能否看到之前所有的行动？被看到的报价和当前的隐藏选择不一样。这关心的是博弈的历史。
完全信息是另一个问题：参与者知道这个博弈的收益结构。知道规则和收益，不等于看得见对方隐藏的选择。另外还要记录这次互动是一次性还是重复的；未来的反应可能改变今天的激励。
怎么用这些博弈
先从表格里的比较开始。面对一个真实情境，在给它安上博弈名字之前，先把还不确定的部分写下来。
一次完整的单边改变检验
拿囚徒困境表里的**（合作，合作）**来试：
| 检验 | 固定不动 | 改变 | 自身收益变化 |
|---|---|---|---|
| Alex 的选择 | Blair 合作 | Alex 背叛 | 3 → 5 |
| Blair 的选择 | Alex 合作 | Blair 背叛 | 3 → 5 |
双方都有一次有利可图的单边改变，所以这一格过不了均衡检验。每一项比较都从原来那一格开始；参与者不是同时改的。
现在检查**（背叛，背叛）**。固定 Blair 在背叛，Alex 改回去会输：1 → 0。固定 Alex 在背叛，Blair 改回去也输：1 → 0。这一格通过了，尽管它给双方的都比互助合作少。
本页任何一张方阵表都可以用同样的练习：
- 挑一格，记下两个收益。
- 固定住列，用第一个数字比较选行的人能选的那几行。
- 回到原来那一格。固定住行，用第二个数字比较选列的人能选的那几列。
- 如果任何一方有严格更好的选择，这一格就不是纯均衡。如果都没有，它通过。
这个检验查的是纯均衡。它不会算出混合均衡，也不能证明人们会选什么。
一份用于真实场景的清单
| 要写下来的 | 你的记录 |
|---|---|
| 参与者和现实中的选择 | 谁在做选择？每个人实际能做什么？ |
| 偏好 | 每个人偏好哪些结果？有什么证据支持这个排序？ |
| 信息 | 选择之前能观察到什么？哪些仍然未知？ |
| 时序和重复 | 谁先行动？他们还会再见吗？ |
| 单边改变 | 固定对方的选择不动，什么能改善你自己的结果？ |
| 规则变化 | 新的承诺、收益或回应选项，会不会造出另一个不同的博弈？ |
做纸面练习时，可以让两个人私下选行动、然后亮出来，记下落在哪一格。接着讨论有哪些单边改变是可行的。重复这个练习会累积出一段博弈历史；要把后面这些轮次和你最初的那个一次性模型区分开。
想追后面的反应，可以用二阶思考。当难处在于质疑你假设的偏好排序时，封闭心态指南提供的是另一项练习。认知专题把这些模型和其他推理工具连了起来。
常见问题
博弈论里都有哪些博弈？
常见的例子有囚徒困境、猎鹿博弈、斗鸡、性别战、猜硬币和最后通牒。它们是举例，不是穷尽清单。拍卖、公共品博弈等模型会加入不同的选择、信息结构或参与者数量。
博弈论里的「性别战」是什么？
它是一个协调博弈：参与者偏好不同的协调结果，但双方都偏好「一起行动」而不是分开。在音乐会／球赛这个例子里，Alex 偏好音乐会，Blair 偏好球赛。两个共同场地方案都通过纯均衡检验。
博弈论有哪些现实中的例子？
共同项目、约定在哪里见面、提出一个报价，都可以拿来建模。把某个具体项目称为囚徒困境，需要有参与者偏好的证据。用经典博弈去检验一个假定的激励结构，当选择、信息或偏好对不上时就修正模型。