纳什均衡博弈论（nash equilibrium game theory）要找的是这样一组策略：在其他人怎么选已经给定的情况下，任何一方单独改变自己的策略都无法提高自己的收益。这是一个互相最优回应的条件。它不意味着结果是公平的、联合最优的，或者有占优策略支撑。一个博弈可能有多个均衡，有些博弈则根本没有纯策略均衡。要检查一张小矩阵，办法是固定对方的行动、比较每个参与者的收益、标出最优回应，再找出这些标记重合的格子。把博弈的假设一直写明。
定义
“独自”这个词是关键。在均衡点上，任何一方都无法通过单方面改变获益。几个参与者协同改变，仍然可能产生一个他们更喜欢的不同结果。
诺贝尔委员会关于均衡研究的说明解释了纳什均衡在非合作博弈中的位置。Open Yale Courses 的最优回应那一讲通过策略选择把这个概念展开。
这里的例子是收益人为构造出来的原创矩阵，不是对真实人群的实证预测。
最优回应
在两人矩阵里，行玩家 A 的收益是第一个数字，列玩家 B 的收益是第二个数字。要找 A 的最优回应，固定一列。要找 B 的最优回应，固定一行。
不要跨格子比较总分，也不要同时改动双方。均衡检验问的是：在其他人都保持既定策略时，某一方单独偏离能不能获益。
平局是要紧的。如果几个行动带来同样的最高收益，它们可以都是最优回应。即使某一方还有一个同样好的行动，某个格子仍然可能是均衡。
实例拆解
两个虚构的参与者选择 X 或者 Y。选的一样就有收益，不一样就是零。每个格子写的是 （A 的收益，B 的收益）。
| A / B | B 选 X | B 选 Y |
|---|---|---|
| A 选 X | (3, 3) | (0, 0) |
| A 选 Y | (0, 0) | (2, 2) |
如果 B 选 X，A 偏好 X：3 大于 0。如果 B 选 Y，A 偏好 Y：2 大于 0。对 B 来说，按行做同样的比较也成立。
(X, X) 和 (Y, Y) 两个格子都是纯策略纳什均衡。在 (X, X) 单独改变，会把改变者的收益从 3 降到 0。在 (Y, Y) 单独改变，会从 2 降到 0。
(X, X) 的收益更高，并不会让 (Y, Y) 不再是均衡。在多个均衡之间做选择是另一个问题。沟通、惯例、重复互动，以及模型里省略的细节，都可能起作用。
现在考虑掷硬币猜正反（matching pennies）：选的一样时 A 得 1 分，不一样时得 -1 分。B 拿到相反的收益。
| A / B | B 选正面 | B 选反面 |
|---|---|---|
| A 选正面 | (1, -1) | (-1, 1) |
| A 选反面 | (-1, 1) | (1, -1) |
在选一样的格子上，B 改变就能获益。在选不一样的格子上，A 改变就能获。所以不存在纯策略均衡。
在这个构造出来的博弈里，各自以二分之一概率独立地选正反，就得到一个混合策略均衡。对上对方的对半混合，任一方的纯选择的期望收益都是零。这个计算依赖上面写明的对称性；它不是”每个真实决策都该等概率随机化”的通则。
占优策略对比
占优策略（dominant strategy）在对方每一种相关选择下都更好。最优回应则绑在某个具体的对方选择或者混合方式上。纳什均衡要求的是某个结果上的互相最优回应，不要求存在一个永远最好的策略。
| 概念 | 检验方式 |
|---|---|
| 严格占优策略 | 无论对方选什么，都比其他选项好 |
| 最优回应 | 在指定的对方策略下，让某一方收益最大 |
| 纳什均衡 | 每个人的策略都是对其他人的最优回应 |
前面那张协调矩阵没有占优策略：X 对上 X 更好，Y 对上 Y 更好。但它有两个纯均衡。
用占优策略逐步讲解来对比这个更强的条件。参与者、时序、信息和收益记号，先从博弈论开始。博弈论游戏比较了几种熟悉的互动结构。
一份原创的检验流程是：
- 确认哪个收益排在前面。
- 在每个固定列里标出 A 的最大收益。
- 在每个固定行里标出 B 的最大收益。
- 找出两个标记同时出现的格子。
- 检查平局，分清纯策略和混合策略。
- 写明模型假设了什么、漏掉了什么。
收益总和最大并不是均衡的检验方法。均衡也不等于说参与者在实际中会识别出它或者走到它。模型可以理清激励，作为行为预测它仍然是不完整的。
常见问题
纳什均衡可以不止一个吗？
可以。那张协调矩阵就有两个纯均衡。要解释它们之间怎么选，需要额外的分析。
没有纯均衡，是不是就完全没有均衡？
不是。混合策略可能有用。掷硬币猜正反就展示了一个混合均衡，尽管每个纯策略格子都允许一次有利的单方面改变。
均衡和达成一致是一回事吗？
不是。参与者可以处在均衡里，同时并没有沟通，也没有认可这个结果。它描述的是在既定博弈里单方面改变的激励。